电磁场期末复习索引 作者：まみやはさき（間宮羽咲） 文档版本：V3.1415926535

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第零章常用公式定义第一章——坐标变换与哈密顿算子1、坐标变换公式2、哈密顿算子性质3、各坐标系下哈密顿算子性质第二章——位函数与矢量方程1、位函数2、矢量方程第三章——边界条件方程1、边界条件方程第四章——静电场1、对称/非对称场结论2、电偶极子3、电极化4、静电场的哈密顿算符/边界方程5、电场能量/电容6、n个导体平面相对第五章——恒定电流场1、电导、电阻、电功率2、JDεσ对偶/恒定电流场边界条件第六章——恒定磁场1、对称/非对称场结论2、磁偶极子3、磁位4、磁化5、恒定磁场的哈密顿算符/边界方程6、磁场能量/磁阻7、自感第七章——静态场边值问题1、平面电场镜像2、平面磁场镜像3、实心导体球镜像4、圆柱面镜像5、两圆柱电容第八章——正弦电磁场1、正弦场量2、色散/坡印廷矢量3、k、E、H转换4、极化5、波的衰减6、极化波/驻波/折射反射第九章——导行波1、TE/TM波2、波导中的能量损耗3、TEM波第十章——电磁辐射1、赫芝偶极子2、磁偶极子天线辐射3、天线阵最终章——公式推导合集

第零章

常用公式定义

本章用于定义一些常用的方程及其简称，方程简称见右端的括号。

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{D}}=\rho\tag{D}

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{B}}=0\tag{B}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}=-\frac{\partial \boldsymbol{\vec{B}}}{\partial t}\tag{E}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\vec{J}}+\frac{\partial \boldsymbol{\vec{D}}}{\partial t}\tag{H}

\oint_S{\boldsymbol{\vec{D}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}=\int_V{\rho \cdot \text{d}V}}\tag{ID}

\oint_S{\boldsymbol{\vec{B}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}=0}\tag{IB}

\oint_l{\boldsymbol{\vec{E}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{l}}}=-\int_S{\frac{\partial \boldsymbol{\vec{B}}}{\partial t}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}}+\oint_l{\begin{array}{c} \left( \boldsymbol{\vec{v}}\times \boldsymbol{\vec{B}} \right) \cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{l}}\\\end{array}}\tag{IE}

\oint_l{\boldsymbol{\vec{H}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{l}}}=\int_S{\boldsymbol{\vec{J}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}}+\int_S{\frac{\partial \boldsymbol{\vec{D}}}{\partial t}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}}\tag{IH}

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{D}}=\rho\tag{WD}

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{B}}=0\tag{WB}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}=-j\omega \boldsymbol{\vec{B}}\tag{WE}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\vec{J}}+j\omega \boldsymbol{\vec{D}}\tag{WH}

\nabla \times \nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}=\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{E}} \right) -\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}\tag{NXX}

\boldsymbol{\vec{A}}\times \left( \boldsymbol{\vec{B}}\times \boldsymbol{\vec{C}} \right) =\boldsymbol{\vec{B}}\left( \boldsymbol{\vec{A}}\cdot \boldsymbol{\vec{C}} \right) -\boldsymbol{\vec{C}}\left( \boldsymbol{\vec{A}}\cdot \boldsymbol{\vec{B}} \right)\tag{VXX}

\nabla \cdot \left( \boldsymbol{\vec{A}}\times \boldsymbol{\vec{B}} \right) =\boldsymbol{\vec{B}}\left( \nabla \times \boldsymbol{\vec{A}} \right) -\boldsymbol{\vec{A}}\left( \nabla \times \boldsymbol{\vec{B}} \right)\tag{NDX}

本构方程不必言明即可直接应用：

\boldsymbol{\vec{D}}=\varepsilon \boldsymbol{\vec{E}}

\boldsymbol{\vec{B}}=\mu \boldsymbol{\vec{H}}

\boldsymbol{\vec{J}}=\sigma \boldsymbol{\vec{E}}

第一章——坐标变换与哈密顿算子

1、坐标变换公式

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{r}}=\left\{ x,y,z \right\}\\ \boldsymbol{\vec{r}}=\left\{ \rho \cos \varphi ,\rho \sin \varphi ,z \right\}\\ \boldsymbol{\vec{r}}=\left\{ r\sin \theta \cos \varphi ,r\sin \theta \sin \varphi ,r\cos \theta \right\}\\\end{cases}\tag{1.1.1}

式(1.1.1)对应元素相等，例如：

\begin{cases} x=r\sin \!\:\theta \cos \!\:\varphi\\ y=r\sin \theta \sin \varphi\\ z=r\cos \theta\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ \sin \theta =\frac{\rho}{r},\cos \theta =\frac{z}{r}\\ \sin \varphi =\frac{y}{\rho},\cos \varphi =\frac{x}{\rho}\\\end{cases}\tag{1.1.2}

\begin{cases} x=\rho \cos \!\:\varphi\\ y=\rho \sin \varphi\\ z=z\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} \rho =\sqrt{x^2+y^2}\\ \cos \!\:\varphi =\frac{x}{\rho},\sin \varphi =\frac{y}{\rho}\\ z=z\\\end{cases}\tag{1.1.3}

\begin{cases} \rho =r\sin \theta\\ \varphi =\varphi\\ z=r\cos \theta\\\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} r=\sqrt{\rho ^2+z^2}\\ \sin \theta =\frac{\rho}{r},\cos \theta =\frac{z}{r}\\ \varphi =\varphi\\\end{cases}\tag{1.1.4}

并且给出坐标间的变换公式：

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{x}}\\ \boldsymbol{\hat{y}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \sin \!\:\theta \cos \!\:\varphi& \cos \!\:\theta \cos \!\:\varphi& -\sin \!\:\varphi\\ \sin \!\:\theta \sin \!\:\varphi& \cos \!\:\theta \sin \!\:\varphi& \cos \!\:\varphi\\ \cos \!\:\theta& -\sin \!\:\theta& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \boldsymbol{\hat{\theta}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.5}

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{x}}\\ \boldsymbol{\hat{y}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \cos \!\:\varphi& -\sin \!\:\varphi& 0\\ \sin \!\:\varphi& \cos \!\:\varphi& 0\\ 0& 0& 1\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{\rho}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.6}

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{\rho}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right] =\left[ \begin{matrix} \sin \theta& \cos \theta& 0\\ 0& 0& 1\\ \cos \theta& -\sin \theta& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \boldsymbol{\hat{\theta}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.7}

考虑到此处雅可比矩阵是正交矩阵，将它们转置过来，即可得到逆变换，考虑到我们希望矩阵里由新的基的元素表示，因此如此化简：

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \boldsymbol{\hat{\theta}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\\end{array} \right] =\frac{1}{r\rho}\left[ \begin{matrix} x\rho& y\rho& z\rho\\ zx& zy& -\rho ^2\\ -ry& rx& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{x}}\\ \boldsymbol{\hat{y}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.8}

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{\rho}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right] =\frac{1}{\rho}\left[ \begin{matrix} x& y& 0\\ -y& x& 0\\ 0& 0& \rho\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{x}}\\ \boldsymbol{\hat{y}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.9}

\left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{r}}\\ \boldsymbol{\hat{\theta}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\\end{array} \right] =\frac{1}{r}\left[ \begin{matrix} \rho& 0& z\\ z& 0& -\rho\\ 0& r& 0\\\end{matrix} \right] \left[ \begin{array}{c} \boldsymbol{\hat{\rho}}\\ \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\ \boldsymbol{\hat{z}}\\\end{array} \right]\tag{1.1.10}

2、哈密顿算子性质

\nabla f=\frac{1}{h_a}\frac{\partial f}{\partial a}\boldsymbol{\hat{a}}+\frac{1}{h_b}\frac{\partial f}{\partial b}\boldsymbol{\hat{b}}+\frac{1}{h_c}\frac{\partial f}{\partial c}\boldsymbol{\hat{c}}\tag{1.2.1}

\nabla \cdot \boldsymbol{G}=\frac{1}{h_ah_bh_c}\left( \frac{\partial h_bh_cG_1}{\partial a}+\frac{\partial h_ch_aG_2}{\partial b}+\frac{\partial h_ah_bG_3}{\partial c} \right) \tag{1.2.2}

\nabla \times \boldsymbol{G}=\frac{1}{h_ah_bh_c}\left| \begin{matrix} h_a\boldsymbol{\hat{a}}& h_b\boldsymbol{\hat{b}}& h_c\boldsymbol{\hat{c}}\\ \frac{\partial}{\partial a}& \frac{\partial}{\partial b}& \frac{\partial}{\partial c}\\ \left( h_aG_1 \right)& \left( h_bG_2 \right)& \left( h_cG_3 \right)\\\end{matrix} \right|\tag{1.2.3}

关于(1.2.4)式，详见参考文献¹：

\nabla ^2=\frac{1}{h_ah_{\begin{array}{c} b\\ \end{array}}h_c}\left[ \frac{\partial}{\partial a}\left( \frac{h_{\begin{array}{c} b\\ \end{array}}h_c}{h_a}\frac{\partial}{\partial a} \right) +\frac{\partial}{\partial b}\left( \frac{h_{\begin{array}{c} c\\ \end{array}}h_a}{h_b}\frac{\partial}{\partial b} \right) +\frac{\partial}{\partial c}\left( \frac{h_{\begin{array}{c} a\\ \end{array}}h_b}{h_c}\frac{\partial}{\partial c} \right) \right] \,\,\text{（无论标量矢量）}\tag{1.2.4}

\nabla f=\frac{\partial f}{\partial \hat{n}}\boldsymbol{\hat{e}}_n\tag{1.2.5}

\colorbox{cyan}{$\nabla \times \nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}=\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{E}} \right) -\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}$}\tag{NXX}

3、各坐标系下哈密顿算子性质

\begin{cases} \nabla f =\frac{\partial f}{\partial x}\boldsymbol{\hat{x}}+\frac{\partial f}{\partial y}\boldsymbol{\hat{y}}+\frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}}\\ \nabla f=\frac{\partial f}{\partial \rho}\boldsymbol{\hat{\rho}}+\frac{1}{\rho}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}}+\frac{\partial f}{\partial z}\boldsymbol{\hat{z}}\\ \nabla f =\frac{\partial f}{\partial r}\boldsymbol{\hat{r}}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \theta}\boldsymbol{\hat{\theta}}+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial f}{\partial \varphi}\boldsymbol{\hat{\varphi}}\\\end{cases}\tag{1.3.1}

\begin{cases} \nabla \cdot \boldsymbol{G} =\frac{\partial G_1}{\partial x}&+\frac{\partial G_2}{\partial y}&+\frac{\partial G_3}{\partial z}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{G} =\frac{1}{\rho}\frac{\partial \rho G_1}{\partial \rho}&+\frac{1}{\rho}\frac{\partial G_2}{\partial \varphi}&+\frac{\partial G_3}{\partial z}\\ \nabla \cdot \boldsymbol{G}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial r^2G_1}{\partial r}&+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial \sin \theta G_2}{\partial \theta}&+\frac{1}{r\sin \theta}\frac{\partial G_3}{\partial \varphi}\\\end{cases}\tag{1.3.2}

\begin{cases} \nabla \times \boldsymbol{G} =\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{x}}& \boldsymbol{\hat{y}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y}& \frac{\partial}{\partial z}\\ \left( G_1 \right)& \left( G_2 \right)& \left( G_3 \right)\\\end{matrix} \right|\\ \nabla \times \boldsymbol{G}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{\rho}}& \rho \boldsymbol{\hat{\varphi}}& \boldsymbol{\hat{z}}\\ \frac{\partial}{\partial \rho}& \frac{\partial}{\partial \varphi}& \frac{\partial}{\partial z}\\ \left( G_1 \right)& \left( \rho G_2 \right)& \left( G_3 \right)\\\end{matrix} \right|\\ \nabla \times \boldsymbol{G}=\left| \begin{matrix} \boldsymbol{\hat{r}}& r\boldsymbol{\hat{\theta}}& r\sin \theta \boldsymbol{\hat{\varphi}}\\ \frac{\partial}{\partial r}& \frac{\partial}{\partial \theta}& \frac{\partial}{\partial \varphi}\\ \left( G_1 \right)& \left( rG_2 \right)& \left( r\sin \theta G_3 \right)\\\end{matrix} \right|\\\end{cases}\tag{1.3.3}

\begin{cases} \nabla ^2f=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}\\ \nabla ^2f=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left( \rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) +\frac{1}{\rho ^2}\frac{\partial ^2f}{\partial \varphi ^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial z^2}\\ \nabla ^2f=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial f}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) +\frac{1}{r^2\sin ^2\theta}\frac{\partial ^2f}{\partial \varphi ^2}\\ \end{cases}\tag{1.3.4}

关于(1.3.4)式，矢量拉普拉斯算子与标量算子具有类似的特性，其中柱坐标采用文献公式(21)展开，但球坐标过长，所以保留了原矢量格式，详见参考文献¹：

\begin{cases} \nabla ^2\boldsymbol{\vec{G}}=\frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{G}}}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{G}}}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{G}}}{\partial z^2}\\ \nabla ^2\boldsymbol{\vec{G}}=\boldsymbol{\hat{\rho}}\left[ \nabla ^2G_{\rho}-\frac{1}{\rho ^2}G_{\rho}-\frac{2}{\rho ^2}\frac{\partial G_{\varphi}}{\partial \varphi} \right] +\boldsymbol{\hat{\varphi}}\left[ \nabla ^2G_{\varphi}-\frac{1}{\rho ^2}G_{\varphi}+\frac{2}{\rho ^2}\frac{\partial G_{\rho}}{\partial \varphi} \right] +\boldsymbol{\hat{z}}\nabla ^2G_z\\ \nabla ^2\boldsymbol{\vec{G}}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left( r^2\frac{\partial \boldsymbol{\vec{G}}}{\partial r} \right) +\frac{1}{r^2\sin \theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left( \sin \theta \frac{\partial \boldsymbol{\vec{G}}}{\partial \theta} \right) +\frac{1}{r^2\sin ^2\theta}\frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{G}}}{\partial \varphi ^2}\\ \end{cases}\tag{1.3.5}

第二章——位函数与矢量方程

1、位函数

矢量磁位函数+动态电位：

其中(2.1.3)式推导见<跳转到推导1>

\boldsymbol{\vec{B}}=\nabla \times \boldsymbol{\vec{A}}\tag{2.1.1}

\boldsymbol{\vec{E}}=-\nabla U-\frac{\partial \boldsymbol{\vec{A}}}{\partial t}\tag{2.1.2}

\colorbox{cyan}{$\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{A}}=-\mu \varepsilon \frac{\partial U}{\partial t}$}\tag{2.1.3}

对于 $\nabla\times\boldsymbol{\vec H}=0$ ），标可以定义量磁位：

\boldsymbol{\vec{H}}=-\nabla U_m\tag{2.1.4}

2、矢量方程

达朗贝尔方程：

\nabla ^2\boldsymbol{\vec{A}}-\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{A}}}{\partial t^2}=-\mu \boldsymbol{\vec{J}}\tag{2.2.1}

\nabla ^2U-\mu \varepsilon \frac{\partial ^2U}{\partial t^2}=-\frac{\rho}{\varepsilon}\tag{2.2.2}

$k^2=\omega^2\mu\varepsilon$ ：

\colorbox{cyan}{$\nabla ^2\boldsymbol{\vec{A}}+k^2 \boldsymbol{\vec{A}}=-\mu \boldsymbol{\vec{J}}$}\tag{PPA}

\colorbox{cyan}{$\nabla ^2U+k^2 U=-\frac{\rho}{\varepsilon}$}\tag{PPU}

亥姆霍兹方程：

\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}=\mu \sigma \frac{\partial \boldsymbol{\vec{E}}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{E}}}{\partial t^2}\tag{2.2.3}

\nabla ^2\boldsymbol{\vec{H}}=\mu \sigma \frac{\partial \boldsymbol{\vec{H}}}{\partial t}+\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{H}}}{\partial t^2}\tag{2.2.4}

$\rho=0$ $k^2=\omega ^2\mu \varepsilon -j\omega \mu \sigma$ ：

其中(PPE)式推导见跳转到推导2

\colorbox{cyan}{$\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}+k^2\boldsymbol{\vec{E}}=0$}\tag{PPE}

\colorbox{cyan}{$\nabla ^2\boldsymbol{\vec{H}}+k^2\boldsymbol{\vec{H}}=0$}\tag{PPH}

第三章——边界条件方程

1、边界条件方程

\left\{ \begin{array}{r} \boldsymbol{\hat{n}}\times \boldsymbol{\vec{E}}=0\\ E_t=0\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{r} \boldsymbol{\hat{n}}\cdot \boldsymbol{\vec{D}}=\rho _S\\ D_n=\rho _S\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{r} \boldsymbol{\hat{n}}\cdot \boldsymbol{\vec{B}}=0\\ B_n=0\\ \end{array} \right. \left\{ \begin{array}{r} \boldsymbol{\hat{n}}\times \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\vec{J}}_S\\ H_t=\,\,J_S\\ \end{array} \right. \tag{3.1.1}

因此：

E必垂直于导体表面 $\colorbox{cyan}{$D_n=\rho _S$}$
H必平行于导体表面 $\colorbox{cyan}{$H_t=J_S$}$

第四章——静电场

1、对称/非对称场结论

有限/无限长直导线：

\begin{cases} E_{/\!/}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon a}\left( \sin \theta _2-\sin \theta _1 \right)\\ E_{\bot}=\frac{\lambda}{4\pi \varepsilon a}\left( \cos \theta _1-\cos \theta _2 \right)\\ \end{cases}

\begin{cases} \displaystyle\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}_{r\to \infty}=\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon r}\boldsymbol{\hat{r}}$}\\ \displaystyle U=\ln r\\\end{cases}\tag{4.1.1}

有限/无限大圆盘：

\boldsymbol{\vec{E}}=\frac{\lambda}{2\varepsilon }\left( 1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}} \right)\boldsymbol{\hat{x}}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}_{r\to \infty}=\frac{\lambda}{2\varepsilon }\boldsymbol{\hat{x}}$}\tag{4.1.2}

对称均匀球：

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{E}}=\begin{cases} \displaystyle\frac{qr}{4\pi \varepsilon R^3}\boldsymbol{\hat{r}}&,r<R\\ \displaystyle\colorbox{cyan}{$\frac{q}{4\pi \varepsilon r^2}$}&,r>R\\\end{cases}\\ U=\begin{cases} \displaystyle\left(\frac{3q}{8\pi \varepsilon R}-\frac{qr^2}{8\pi \varepsilon _0R^3}\right)\boldsymbol{\hat{r}}&,r<R\\ \displaystyle\frac{q}{4\pi \varepsilon r}&,r>R\\\end{cases}\\\end{cases}\tag{4.1.3}

半径R的圆环中垂线：

\begin{cases} \displaystyle \colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}=\frac{qx}{4\pi \varepsilon \left( x^2+R^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}\boldsymbol{\hat{x}}$}\\ \displaystyle U=\frac{q}{4\pi \varepsilon \left( x^2+R^2 \right) ^{\frac{1}{2}}}\\\end{cases}\tag{4.1.4}

2、电偶极子

电偶极距：

\boldsymbol{\vec{p}}=Q\boldsymbol{\vec{l}}\tag{4.2.1}

\colorbox{cyan}{$U$}=\frac{\boldsymbol{\vec{p}}\cdot \boldsymbol{\vec{r}}}{4\pi \varepsilon r^3}=\colorbox{cyan}{$\frac{p\cos \theta}{4\pi \varepsilon r^2}$}\tag{4.2.2}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}$}=-\nabla U=-\left( \boldsymbol{\hat{r}}\frac{\partial U}{\partial r}+\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial \theta} \right) =\colorbox{cyan}{$\frac{p}{4\pi \varepsilon r^3}\left( \boldsymbol{\hat{r}}2\cos \theta +\boldsymbol{\hat{\theta}}\sin \theta \right)$}\tag{4.2.3}

电转矩：

\boldsymbol{\vec{M}}=\boldsymbol{\vec{p}}\times \boldsymbol{\vec{E}}\tag{4.2.4}

3、电极化

体极化电荷：

\rho _{p\left( V \right)}=-\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{P}}\tag{4.3.1}

$\boldsymbol{\hat{n}}$ 为自己指向外面）：

\rho _{p\left( S \right)}=\boldsymbol{\hat{n}}\cdot \boldsymbol{\vec{P}}\tag{4.3.2}

D、E、P关系：

\left.\begin{array}{l}\boldsymbol{\vec{P}}=\chi _e\varepsilon _0\boldsymbol{\vec{E}}\\\boldsymbol{\vec{D}}=\varepsilon_0\boldsymbol{\vec{E}}+\boldsymbol{\vec{P}}\\\varepsilon _r=1+\chi _e\end{array}\right\}\Rightarrow \boldsymbol{\vec{P}}=\frac{\varepsilon _r-1}{\varepsilon _r}\boldsymbol{\vec{D}}\tag{4.3.3}

极化电荷与原场关系：

\colorbox{cyan}{$\rho _p$}=\left( \frac{1-\varepsilon _r}{\varepsilon _r} \right) \rho +\boldsymbol{\vec{D}}\cdot \nabla \left( \frac{1}{\varepsilon _r} \right) \xlongequal{\varepsilon _r=\text{const}}\colorbox{cyan}{$\left( \frac{1-\varepsilon _r}{\varepsilon _r} \right) \rho$}\tag{4.3.4}

4、静电场的哈密顿算符/边界方程

边界方程：

D的法向分量（方向为2指向1）：

\boldsymbol{\hat{n}}\cdot \left( \boldsymbol{\vec{D}}_1-\boldsymbol{\vec{D}}_2 \right) =\rho _S\tag{4.4.1}

E的切向分量为0：

\boldsymbol{\hat{n}}\times \left( \boldsymbol{\vec{E}}_1-\boldsymbol{\vec{E}}_2 \right) =0\tag{4.4.2}

光学性质（假设边界无自由电荷）：

如果2区是理想导体，那么1区电场夹角近似于0度，即与表面垂直，故分界面处处等势。

\left.\begin{matrix}D_1\cos \theta _1=D_2\cos \theta _2\\E_1\sin \theta _1=E_2\sin \theta _2\\D=\varepsilon E\end{matrix}\right\}\Rightarrow\colorbox{cyan}{$\frac{\tan \theta _1}{\tan \theta _2}=\frac{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}$}\tag{4.4.3}

电位方程：

\begin{cases} U_1=U_2\\ \colorbox{cyan}{$\varepsilon _1\frac{\partial U_1}{\partial n}=\varepsilon _2\frac{\partial U_2}{\partial n}$}\\ \end{cases}\tag{4.4.4}

由(PPU)可得泊松方程：

\nabla ^2U=-\frac{\rho}{\varepsilon }\tag{4.4.5}

\rho =\rho _s+\rho _p\begin{cases} \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{D}}=\rho _s\\ \displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{E}}=\frac{\rho}{\varepsilon_0 }\\ \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{P}}=-\rho _p\\ \displaystyle \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{J}}=-\frac{\partial \rho}{\partial t}\end{cases}\tag{4.4.6}

5、电场能量/电容

电场能量：

\colorbox{cyan}{$w_e=\frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{D}}\cdot \boldsymbol{\vec{E}}$}\tag{4.5.1}

W_e=\frac{1}{2}\int_{R_{\infty}}{\boldsymbol{\vec{D}}\cdot \boldsymbol{\vec{E}}\,\text{d}V}\tag{4.5.2}

电容器：

C=\frac{Q}{V}=\frac{Q}{\int E\cdot dl}\tag{4.5.3}

平行电容器：

\boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{Q}{\varepsilon _0\varepsilon _r},\colorbox{cyan}{$C=\frac{\varepsilon _0\varepsilon _rS}{d}$}\tag{4.5.4}

圆柱电容器：

\boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{Q/L}{2\pi \varepsilon _0\varepsilon _rr},\colorbox{cyan}{$C=\frac{2\pi \varepsilon _0\varepsilon _rL}{\ln \left( R_2/R_1 \right)}$}\tag{4.5.5}

球形电容器：

\boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{Q}{4\pi \varepsilon _0\varepsilon _rr^2},\colorbox{cyan}{$C=\frac{4\pi \varepsilon _0\varepsilon _r}{1/R_1-1/R_2}$}\tag{4.5.6}

孤立导体球：

\boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{Q}{4\pi \varepsilon r^2},\colorbox{cyan}{$C=4\pi \varepsilon R$}\tag{4.5.7}

6、n个导体平面相对

共要列2n个方程——

不接地平面：

1个方程导体内部场强为0
n-1个两道题间高斯面通量为0（即等量异号）
n个电荷守恒

接地平面：

接地部分电荷守恒方程变易为接地端电荷为0

第五章——恒定电流场

1、电导、电阻、电功率

定义电导率：

\sigma =\frac{Ne^2\tau}{2m_0}\tag{5.1.1}

\left. \begin{array}{r} \boldsymbol{\vec{J}}=\rho _m\boldsymbol{\vec{v}}\\ \rho _m=Ne\\ \boldsymbol{\vec{v}}=\frac{e\boldsymbol{\vec{E}}}{m_0}\tau\\ \end{array} \right\} \colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{J}}$}=\frac{Ne^2\tau}{2m_0}\boldsymbol{\vec{E}}=\colorbox{cyan}{$\sigma \boldsymbol{\vec{E}}$}\tag{5.1.2}

低频欧姆定律：

\colorbox{cyan}{$R$}=\int_l{\text{d}R}=\colorbox{cyan}{$\int_l{\frac{\text{d}l}{\sigma S}}$}\tag{5.1.3}

焦耳定律：

\colorbox{cyan}{$p=\boldsymbol{\vec{J}}\cdot \boldsymbol{\vec{E}}$}\tag{5.1.4}

P=\int_V{\boldsymbol{\vec{J}}\cdot \boldsymbol{\vec{E}}\cdot \text{d}V}=\int_S{\boldsymbol{\vec{J}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}}\int_l{\boldsymbol{\vec{E}}\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{l}}}=IU\tag{5.1.5}

2、JDεσ对偶/恒定电流场边界条件

$\boldsymbol{\vec{J}}\leftrightarrow \boldsymbol{\vec{D}}$ $\sigma\leftrightarrow \varepsilon$ 具有对偶关系

静电场（ρ=0）	E_静	U_静	D_静	Q_静	ε
恒定电场（电源外）	E_恒	U_恒	J_恒	I_恒	σ

恒定电流场 $\boldsymbol{\hat{n}}\cdot \left( \boldsymbol{\vec{J}}_1-\boldsymbol{\vec{J}}_2 \right) =0$ $\boldsymbol{\hat{n}}\times \left( \boldsymbol{\vec{E}}_1-\boldsymbol{\vec{E}}_2 \right) =0$

\left.\begin{matrix}J_1\cos \theta _1=J_2\cos \theta _2\\E_1\sin \theta _1=E_2\sin \theta _2\\J=\sigma E\end{matrix}\right\}\Rightarrow\colorbox{cyan}{$\frac{\tan \theta _1}{\tan \theta _2}=\frac{\sigma _1}{\sigma _2}$}\tag{5.2.1}

如果2区是理想导体，那么1区电场夹角近似于0度，即与表面垂直，故分界面处处等势。

\sigma _1\frac{\partial U_1}{\partial n}=\sigma _2\frac{\partial U_2}{\partial n}\tag{5.2.2}

RC=\frac{\varepsilon}{\sigma}\Leftrightarrow \colorbox{cyan}{$\frac{C}{G}=\frac{\varepsilon}{\sigma}$}\tag{5.2.3}

第六章——恒定磁场

1、对称/非对称场结论

\boldsymbol{\vec{F}}=q\left( \boldsymbol{\vec{E}}+\boldsymbol{\vec{v}}\times \boldsymbol{\vec{B}} \right)\tag{6.1.1}

I\text{d}\boldsymbol{\vec{l}}=\boldsymbol{\vec{J}}\text{d}S\text{d}l=\rho \boldsymbol{\vec{v}}\text{d}V=\text{d}Q\boldsymbol{\vec{v}}\tag{6.1.2}

\colorbox{cyan}{$\text{d}\boldsymbol{\vec{B}}$}=\frac{\mu }{4\pi}\frac{I\text{d}\boldsymbol{\vec{l}}\times \boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}=\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\hat{n}}\frac{\mu I\sin \theta}{4\pi r^2}\text{d}l$}=\frac{\mu }{4\pi}\frac{\boldsymbol{\vec{J}}\times \boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}\text{d}V\tag{6.1.3}

\boldsymbol{\vec{H}}=\frac{\boldsymbol{\vec{B}}}{\mu}=\frac{\boldsymbol{\vec{B}}}{\mu _0\mu _{\boldsymbol{r}}}\tag{6.1.4}

有限/无限长直导线：

\boldsymbol{\vec{B}}=\frac{\mu I}{4\pi r}\left( \cos \theta _1-\cos \theta _2 \right)\boldsymbol{\hat{\varphi}}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{B}}_{r\to \infty}=\frac{\mu I}{2\pi r}\boldsymbol{\hat{\varphi}}$}\tag{6.1.5}

圆环导线：

\boldsymbol{\vec{B}}=\frac{\mu IR^2}{2\left( R^2+z^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}\boldsymbol{\hat{z}}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{B}}=\frac{\mu I}{2R}\boldsymbol{\hat{z}}$}\tag{6.1.6}

密绕螺绕环：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{H}}$}=\frac{NI}{2\pi r}\boldsymbol{\hat{\varphi}}=\colorbox{cyan}{$nI\boldsymbol{\hat{\varphi}}$}\tag{6.2.3}

无限大带电平面：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{H}}=\frac12J_s\boldsymbol{\hat{\varphi}}$}\tag{6.2.3}

2、磁偶极子

磁偶极距：

\boldsymbol{\vec{m}}=\boldsymbol{\hat{n}}NIS\tag{6.2.1}

磁偶极子的标量磁位：

\colorbox{cyan}{$U_m$}=\frac{\boldsymbol{\vec{m}}\cdot \boldsymbol{\hat{R}}}{4\pi R^2}=\colorbox{cyan}{$\frac{NIS\cos\theta}{4\pi R^2}$}\tag{6.2.2}

\boldsymbol{\vec{H}}=-\nabla U_m=-\frac{1}{4\pi}\nabla \frac{\boldsymbol{\vec{m}}\cdot \boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}=\frac{1}{4\pi}\nabla \left(\boldsymbol{\vec{m}}\cdot\nabla\frac1R\right)\tag{6.2.3}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{B}}$}=\mu \boldsymbol{\vec{H}}=\frac{\mu}{4\pi}\left( \frac{3\boldsymbol{\vec{m}}\cdot \boldsymbol{\hat{R}}}{R^3}-\frac{\boldsymbol{\vec{m}}}{R^3} \right)=\colorbox{cyan}{$\frac{\mu m}{4\pi r^3}\left( \boldsymbol{\hat{r}}2\cos \theta +\boldsymbol{\hat{\theta}}\sin \theta \right)$}\tag{6.2.4}

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{A}}$}=\nabla \times \frac{\mu \boldsymbol{\vec{m}}}{4\pi R}=\frac{\mu}{4\pi}\frac{\boldsymbol{\vec{m}}\times \boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}=\colorbox{cyan}{$\frac{\mu IS\sin \theta}{4\pi R^2}$}\tag{6.2.5}

磁转矩：

\boldsymbol{\vec{T}}=\boldsymbol{\vec{m}}\times \boldsymbol{\vec{B}}_0\tag{6.2.6}

3、磁位

恒定磁场矢量磁位：

由位函数定义(2.1.1)(2.1.3) $\boldsymbol{\vec{B}}=\nabla \times \boldsymbol{\vec{A}}$ $\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{A}}=0$

由(PPA)可得：

\nabla ^2\boldsymbol{\vec{A}}=-\mu \boldsymbol{\vec{J}}\tag{6.3.1}

\boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu }{4\pi}\int_S{\frac{\boldsymbol{\vec{J}}}{R}\cdot \text{d}S}=\frac{\mu I}{4\pi}\int_l{\frac{\boldsymbol{\text{d}\vec{l}}}{R}}\tag{6.3.2}

\colorbox{cyan}{$\text{d}\boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu \boldsymbol{\vec{J}}}{4\pi R}\text{d}S=\frac{\mu I}{4\pi R}\text{d}\boldsymbol{\vec{l}}$}

$\nabla\times\boldsymbol{\vec H}=0$ ）标量磁位：

\boldsymbol{\vec{H}}=-\nabla U_m\tag{6.3.3}

4、磁化

\left.\begin{array}{l} \boldsymbol{\vec{M}}=\chi _m\boldsymbol{\vec{H}}\\ \boldsymbol{\vec{H}}=\frac1{\mu_0}\boldsymbol{\vec{B}}-\boldsymbol{\vec{M}}\\ \mu _r=1+\chi _m\end{array}\right\}\Rightarrow \boldsymbol{\vec{M}}=(1+\chi_m)\boldsymbol{\vec{H}}\tag{6.4.1}

磁介质矢量磁位1：

\text{d}\boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu }{4\pi}\boldsymbol{\vec{M}}\times \frac{\boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}\text{d}V=\frac{\mu }{4\pi}\boldsymbol{\vec{M}}\times \nabla \left( \frac{1}{R} \right) \text{d}V\tag{6.4.2}

\boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu }{4\pi}\int_V{\frac{\nabla \times \boldsymbol{\vec{M}}}{R}\text{d}V}+\frac{\mu }{4\pi}\int_S{\frac{\boldsymbol{\vec{M}}\times \boldsymbol{\hat{n}}}{R}\text{d}S}\tag{6.4.3}

体磁化电流密度：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{J}}_m=\nabla \times \boldsymbol{\vec{M}}$}\tag{6.4.4}

面磁化电流密度：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{J}}_{mS}=\boldsymbol{\vec{M}}\times \boldsymbol{\hat{n}}$}\tag{6.4.5}

磁介质矢量磁位2：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu _0}{4\pi}\int_V{\frac{\boldsymbol{\vec{J}}_m}{R}\text{d}V}+\frac{\mu _0}{4\pi}\oint_S{\frac{\boldsymbol{\vec{J}}_{mS}}{R}\text{d}S}$}\tag{6.4.6}

磁介质标量磁位1：

\text{d}U_m=\frac{\mu _0}{4\pi}\boldsymbol{\vec{M}}\cdot \frac{\boldsymbol{\hat{R}}}{R^2}\text{d}V=\frac{\mu _0}{4\pi}\boldsymbol{\vec{M}}\cdot \nabla \left( \frac{1}{R} \right) \text{d}V\tag{6.4.7}

U_m=\frac{1}{4\pi}\int_V{\frac{-\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{M}}}{R}\text{d}V}+\frac{1}{4\pi}\int_S{\frac{\boldsymbol{\vec{M}}\cdot \boldsymbol{\hat{n}}}{R}\text{d}S}\tag{6.4.8}

磁荷体密度：

\colorbox{cyan}{$\rho _m=-\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{M}}$}\tag{6.4.9}

磁荷面密度：

\colorbox{cyan}{$\rho _{mS}=\boldsymbol{\vec{M}}\cdot \boldsymbol{\hat{n}}$}\tag{6.4.10}

\colorbox{cyan}{$U_m=\frac{\mu _0}{4\pi}\int_V{\frac{\rho _m}{R}\text{d}V}+\frac{\mu _0}{4\pi}\oint_S{\frac{\rho _{mS}}{R}\text{d}S}$}\tag{6.4.11}

5、恒定磁场的哈密顿算符/边界方程

边界方程：

B的法向分量0：

\boldsymbol{\hat{n}}\cdot \left( \boldsymbol{\vec{B}}_1-\boldsymbol{\vec{B}}_2 \right) =0\tag{6.5.1}

切向 $\boldsymbol{\vec{J}}_S$ ：

\boldsymbol{\hat{n}}\times \left( \boldsymbol{\vec{H}}_1-\boldsymbol{\vec{H}}_2 \right) =\boldsymbol{\vec{J}}_S\tag{6.5.2}

光学性质（假设边界无自由电荷）：

如果2区是理想铁磁导体，那么1区电场夹角近似于0度，即与表面平行，铁磁介质的磁场矢量与分界面平行。

\left.\begin{matrix}B_1\cos \theta _1=B_2\cos \theta _2\\H_1\sin \theta _1=H_2\sin \theta _2\\B=\mu H\end{matrix}\right\}\Rightarrow\colorbox{cyan}{$\frac{\tan \theta _1}{\tan \theta _2}=\frac{\mu _1}{\mu _2}$}\tag{6.5.3}

电位方程：

\begin{cases} U_{m1}=U_{m2}\\ \mu _1\frac{\partial U_{m1}}{\partial n}=\mu _2\frac{\partial U_{m2}}{\partial n}\\ \boldsymbol{\vec{A}}_1=\boldsymbol{\vec{A}}_2\\ \end{cases}\tag{6.5.4}

由(PPA)可得泊松方程：

\nabla ^2U=-\mu\boldsymbol{\vec J} \tag{6.5.5}

6、磁场能量/磁阻

磁场能量：

\colorbox{cyan}{$w=\frac12\boldsymbol{\vec B}\cdot\boldsymbol{\vec H}$}\tag{6.6.1}

$r_0$ $a\ll r_0,d\ll a,\mu\gg\mu_0$ ，在其绕上N匝电流为I的线圈。

定义磁阻：

R_m=\frac{2\pi r_0+\mu _rd}{\mu S}\tag{6.6.2}

则回路满足：

\varPhi _mR_m=NI\tag{6.6.3}

$\mathscr{E}_m=NI$ 为回路的磁动势。

7、自感

$n$ $S$ $l$ 的长直螺线管自感：

\begin{cases} \varPhi _m=\mu nIS\\ \varPsi =nI\varPhi _m=\mu n^2ISl=\mu n^2IV\\ \colorbox{cyan}{$L=\frac{\varPsi}{I}=\mu n^2V$}\\\end{cases}\tag{6.7.1}

$N$ 匝密绕螺线管自感：

\colorbox{cyan}{$L=N^2L_0$}\tag{6.7.2}

串联 $\colorbox{cyan}{$L_1+L_2+2M$}$ $\colorbox{cyan}{$L_1+L_2-2M$}$

多匝线圈总互感：

M=\sum_i\sum_jM_{ij}\tag{6.7.3}

$l$ 的圆截面导线自感为：

\begin{cases} \displaystyle L=\frac{\mu l}{8\pi}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$L_0=\frac{\mu}{8\pi}$}\\\end{cases}\tag{6.7.4}

双线传输线单位长度自感 $D$ $a$ ）：

L_0=\frac{\mu}a\ln\frac{D-a}a+\underbrace{\frac{\mu}{4\pi}}_{內自感}\tag{6.7.5}

(6.7.5) $D\gg a$ ：

\colorbox{cyan}{$L_0\approx\frac{\mu}a\ln\frac{D}a$}

$\mu$ 的圆柱同轴导体 $\mu_0$ $a$ $b$ $c$ ，求单位长度的电感：

L_0=\underbrace{\frac{\mu}{8\pi}}_{内导体內自感}+\underbrace{\frac{\mu}{2\pi}\left[ \frac{c^4}{\left( c^2-b^2 \right)}\ln \frac{c}{b}-\frac{3c^2-b^2}{4\left( c^2-b^2 \right)} \right] }_{外导体內自感}+\underbrace{\frac{\mu _0}{2\pi}\ln \frac{b}{a}}_{外自感}\tag{6.7.6}

$b\gg a$ $b\approx c$ 时，外自感占主要：

\colorbox{cyan}{$L\approx\frac{\mu _0}{2\pi}\ln \frac{b}{a}$}

第七章——静态场边值问题

1、平面电场镜像

$z>0$ $\varepsilon_1$ $z<0$ $\varepsilon_2$ 介质。并且在 $(0,0,h)$ $q_0$ ，则：

$z>0$ 区域 $(0,0,-h)$ $q_1$ ， $q_0$ $q_1$ 的叠加
$z<0$ 区域 $(0,0,h)$ $q_2$ ， $q_2$ 一个电荷产生的电场

通过推导（跳转到推导3），可以得到结论：

\begin{cases} \displaystyle q_1=\frac{\varepsilon _1-\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}q_0\\ \displaystyle q_2=\frac{2\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}q_0\\ \end{cases}\tag{7.1.1}

$z<0$ $\varepsilon_2\to\infty$ 的理想导体 $q_1=-q_0$

2、平面磁场镜像

$\varepsilon\to\frac1\mu$ ：

\begin{cases} \displaystyle I_1=\frac{\mu _2-\mu _1}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}I_0\\ \displaystyle I_2=\frac{2\mu _1}{\mu _1+\mu _2}I_0\\ \end{cases}\tag{7.2.1}

3、实心导体球镜像

$a$ 的导体球外， $(d,0,0)$ $q_0$ ，则：

导体球接地 $\displaystyle\left( \frac{a^2}{d},0,0 \right)$ $\displaystyle q_1=-\frac adq_0$ 的电荷， $q_0$ $q_1$ 的叠加
导体球不接地 $\displaystyle\left( \frac{a^2}{d},0,0 \right)$ $\displaystyle q_1=-\frac adq_0$ $\displaystyle q_2=q_s+\frac adq_0$ $q_s$ 是导体球自带的电荷， $q_0$ $q_1$ $q_2$ 的叠加

(考虑到导体球电势等于不加导体球时原导体球心的电势）

4、圆柱面镜像

$a$ 的圆柱导体外， $(d,0,0)$ $\rho_0$ ，则：

圆柱导体接地 $\displaystyle\left( \frac{a^2}{d},0,0 \right)$ $\displaystyle \rho_1=-\rho_0$ 的电荷， $\rho_0$ $\rho_1$ 的叠加
圆柱导体不接地 $\displaystyle\left( \frac{a^2}{d},0,0 \right)$ $\displaystyle \rho_1=-\rho_0$ $\displaystyle \rho_2=\rho_s+\rho_0$ $q_s$ 是导体球自带的电荷， $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_2$ 的叠加

5、两圆柱电容

在 $(-d,0)$ $(d,0)$ $a$ 的导体柱，求它们之间的电容：

$b=\sqrt{d^2-a^2}$ $-\rho_l$ $(\pm b,0)$ $\pm\rho_l$

U_负=\frac{\rho_l}{2\pi\varepsilon_0}\ln\frac{d+\sqrt{d^2-a^2}}a\tag{7.4.1}

\colorbox{cyan}{$C_0$}=\frac{\rho_l}V=\colorbox{cyan}{$\frac{\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{d+\sqrt{d^2-a^2}}a}$}\tag{7.4.2}

$d\gg a$ $D=2d$ ：

\colorbox{cyan}{$C_0\approx \frac{\pi\varepsilon_0}{\ln\frac{D}a}$}\tag{7.4.3}

第八章——正弦电磁场

1、正弦场量

复场矢量采用Einstein求和约定（对指标x求和）：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\vec{E}}_0\text{e}^{-j\boldsymbol{\vec{k}}\cdot \boldsymbol{\vec{r}}}$}=\sum_x{\left( E_{0x}\text{e}^{j\varphi _x}\boldsymbol{\hat{x}} \right) \left( \text{e}^{-j\left( k_xx \right)} \right)}\tag{8.1.1}

其中：

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{k}}=k_x\boldsymbol{\hat{x}}+k_y\boldsymbol{\hat{y}}+k_z\boldsymbol{\hat{z}}\\ \boldsymbol{\vec{r}}=x\boldsymbol{\hat{x}}+y\boldsymbol{\hat{y}}+z\boldsymbol{\hat{z}}\\ \boldsymbol{\vec{E}}_0=E_{0x}\text{e}^{j\varphi _x}\boldsymbol{\hat{x}}+E_{0y}\text{e}^{j\varphi _y}\boldsymbol{\hat{y}}+E_{0z}\text{e}^{j\varphi _z}\boldsymbol{\hat{z}}\\ \end{cases}\tag{8.1.2}

瞬时场矢量（不妨设k、r只有z分量，且E只有x分量）：

\boldsymbol{\vec{E}}\left( t \right) =\text{Re}\left[ \boldsymbol{\vec{E}}\,\text{e}^{j\omega t} \right] =\boldsymbol{\hat{x}}E_{0x}\cos \left( \omega t+\varphi -kz \right)\tag{8.1.3}

设媒质无耗散，则：

\begin{cases} \displaystyle k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon}=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}\\ \displaystyle \eta =\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$\mu _0$}=\frac{\eta _0}{c}=\frac{120\pi}{3\times 10^8}=\colorbox{cyan}{$4\times 10^{-7}\pi$}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$\varepsilon _0$}=\frac{1}{c\eta _0}=\colorbox{cyan}{$\frac{1}{360\pi \times 10^8}$}\\ \end{cases}\tag{8.1.4}

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{D}}=\rho\tag{WD}

\nabla \cdot \boldsymbol{\vec{B}}=0\tag{WB}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}=-j\omega \boldsymbol{\vec{B}}\tag{WE}

\nabla \times \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\vec{J}}+j\omega \boldsymbol{\vec{D}}\tag{WH}

2、色散/坡印廷矢量

\varepsilon=\varepsilon'-j\varepsilon''\tag{8.2.1}

等效复电容率：

\varepsilon_e=\varepsilon_0\left[\varepsilon'-j\left(\varepsilon''+\colorbox{cyan}{$\frac{\sigma}{\varepsilon_0\omega}$}\right)\right]\tag{8.2.2}

瞬时坡印廷矢量：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{S}}(t)=\boldsymbol{\vec{E}}\times \boldsymbol{\vec{H}}$}\tag{8.2.3}

复坡印廷矢量：

\colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{S}}=\frac12\boldsymbol{\vec{E}}\times \boldsymbol{\vec{H}}^*$}\tag{8.2.4}

平均坡印廷矢量：

\colorbox{cyan}{$<\boldsymbol{\vec{S}}>=\text{Re}\left[ \frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{E}}\times \boldsymbol{\vec{H}}^* \right]$} \tag{8.2.5}

无功功率计算：

\begin{cases} \displaystyle <w_e>\,\,=\frac{1}{4}\varepsilon ' E^2\\ \displaystyle <w_m>=\frac{1}{4}\mu ' H^2\\ \end{cases}\tag{8.2.6}

3、k、E、H转换

\begin{cases} \displaystyle k=\omega \sqrt{\mu \varepsilon}=\frac{\omega}{v}=\frac{2\pi}{\lambda}\\ \displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}\\ \displaystyle \eta =\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$\mu _0$}=\frac{\eta _0}{c}=\frac{120\pi}{3\times 10^8}=\colorbox{cyan}{$4\times 10^{-7}\pi$}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$\varepsilon _0$}=\frac{1}{c\eta _0}=\colorbox{cyan}{$\frac{1}{360\pi \times 10^8}$}\\ \end{cases}\tag{8.3.1}

\begin{cases} \displaystyle \boldsymbol{\vec{H}}=\frac{\nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}}{-\left( j\omega \right) \mu}\\ \displaystyle \colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{H}}=\frac{\boldsymbol{\vec{k}}\times \boldsymbol{\vec{E}}}{\omega \mu}$}\Rightarrow \colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{E}}=-\frac{\boldsymbol{\vec{k}}\times \boldsymbol{\vec{H}}}{\omega \varepsilon}$}\\ \displaystyle \eta =\frac{\omega \mu}{k}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}\Rightarrow \colorbox{cyan}{$\boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\hat{H}}\frac{E}{\eta}$}\\ \end{cases}\tag{8.3.2}

平均坡印廷矢量：

\colorbox{cyan}{$<\boldsymbol{\vec{S}}>$}=\frac{\boldsymbol{\vec{E}}\cdot \boldsymbol{\vec{E}}^*}{2\omega \mu}\boldsymbol{\vec{k}}=\colorbox{cyan}{$\frac{|E|^2}{2\eta}\boldsymbol{\hat{k}}$}\tag{8.3.3}

4、极化

不妨约定：

\begin{cases} \displaystyle \varphi _{xy}=\varphi _x-\varphi _y\\ \displaystyle E_1=\frac{E_x\left( z_0,t \right)}{E_{xm}}\\ \displaystyle E_2=\frac{E_y\left( z_0,t \right)}{E_{ym}}\\ \displaystyle E_x\left( z_0,t \right) =E_{xm}\cos \left( \omega t-kz+\varphi _x \right)\\ \displaystyle E_y\left( z_0,t \right) =E_{ym}\cos \left( \omega t-kz+\varphi _y \right)\\ \end{cases}

则矢端曲线方程：

E_{1}^{2}-2E_1E_2\cos \varphi _{xy}+E_{2}^{2}=\sin ^2\varphi _{xy}\tag{8.4.1}

其中：

线极化波 $\varphi _{xy}=0$ $\varphi _{xy}=\pm\pi$
右旋圆极化波 $\varphi _{xy}=\frac\pi2$
左旋圆极化波 $\varphi _{xy}=-\frac\pi2$

5、波的衰减

复波矢量：

\quad\ \ \ \:\! k=\beta -j\alpha \\ \Rightarrow k^2=\beta ^2-\alpha ^2-j2\beta \alpha =\colorbox{yellow}{$\omega ^2\mu \varepsilon -j\omega \mu \sigma$}\tag{8.5.1}

引入Q（Q越大，损耗越小，越接近理想电介质）：

\colorbox{cyan}{$Q=\frac{\omega \varepsilon}{\sigma}$}=\frac{J_{dx}}{J_{cx}}\tag{8.5.2}

$Q\ll1$ ，焦耳损耗大）则衰减常数、 $\eta$ 、 $\delta$ ：

\begin{cases} \colorbox{cyan}{$\delta =\sqrt{\frac{2}{\omega \mu \sigma}}$}\\ \colorbox{cyan}{$\beta$} =\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{2}}\left[ \sqrt{1+\left( \frac{1}{Q} \right) ^2}+1 \right] ^{\frac{1}{2}}\colorbox{cyan}{$\xlongequal{Q\ll 1}\frac{1}{\delta}$}\\ \colorbox{cyan}{$\alpha$} =\omega \sqrt{\frac{\mu \varepsilon}{2}}\left[ \sqrt{1+\left( \frac{1}{Q} \right) ^2}-1 \right] ^{\frac{1}{2}}\colorbox{cyan}{$\xlongequal{Q\ll 1}\frac{1}{\delta}$}\\ \colorbox{cyan}{$\eta$} =\frac{\omega \mu}{k}=\frac{\sqrt{\mu /\varepsilon}}{\sqrt{1-j\frac{1}{Q}}}\colorbox{cyan}{$\xlongequal{Q\ll 1}\sqrt{\frac{\omega \mu}{\sigma}}\text{e}^{j\frac{\pi}{4}}$}\\ \end{cases}\tag{8.5.3}

良好导体平均功率流密度/表面阻抗：

\begin{cases} <\boldsymbol{\vec{S}}>=\boldsymbol{\hat{z}}\frac{1}{2}H_{ym}\text{e}^{-2\alpha z}\sqrt{\frac{\omega \mu}{2\sigma}}\\ \colorbox{cyan}{$R_s=\sqrt{\frac{\omega \mu}{2\sigma}}$}\\ X_s=\sqrt{\frac{\omega \mu}{2\sigma}}\\ Z_s=R_s+jX_s\\ \end{cases}\tag{8.5.4}

6、极化波/驻波/折射反射

R为反射系数，T为折射系数：

垂直极化波：

\begin{cases}<br> \eta _i=\sqrt{\frac{\mu _i}{\varepsilon _i}}\\<br> \colorbox{cyan}{$\frac{\sin \theta _2}{\sin \theta _1}=\sqrt{\frac{\mu _1\varepsilon _1}{\mu _2\varepsilon _2}}$}=\frac{v_2}{v_1}\\<br> R_{\bot}=\frac{\eta _2\cos \theta _1-\eta _1\cos \theta _2}{\eta _2\cos \theta _1+\eta _1\cos \theta _2}\\<br> T_{\bot}=\frac{2\eta _2\cos \theta _1}{\eta _2\cos \theta _1+\eta _1\cos \theta _2}\\<br>\end{cases}\tag{8.6.1}

平行极化波：

\begin{cases}<br> \eta _i=\sqrt{\frac{\mu _i}{\varepsilon _i}}\\<br> \colorbox{cyan}{$\frac{\sin \theta _2}{\sin \theta _1}=\sqrt{\frac{\mu _1\varepsilon _1}{\mu _2\varepsilon _2}}$}=\frac{v_2}{v_1}\\<br> R_{\parallel}=\frac{\eta _1\cos \theta _1-\eta _2\cos \theta _2}{\eta _1\cos \theta _1+\eta _2\cos \theta _2}\\<br> T_{\parallel}=\frac{2\eta _2\cos \theta _1}{\eta _1\cos \theta _1+\eta _2\cos \theta _2}\\<br>\end{cases}\tag{8.6.2}

反射系数垂直入射 $\theta=0$ ）：

\colorbox{cyan}{$R$}=\left. \left( R_{\bot} \right) \right|_{\theta =0}=\colorbox{cyan}{$\frac{\eta _2-\eta _1}{\eta _2+\eta _1}$}\tag{8.6.3}

\boldsymbol{\vec{E}}_1\left( t \right) =\underbrace{\boldsymbol{\hat{y}}E_m\left( 1+R \right) \cos \left( \omega t-k_1z \right) }_{行波}-\underbrace{\boldsymbol{\hat{y}}E_m2R\sin k_1z\sin \omega t}_{驻波}\tag{8.6.4}

驻波比：

\colorbox{cyan}{$\rho=\frac{1+|R|}{1-|R|}$}\Leftrightarrow \colorbox{cyan}{$|R|=\frac{\rho-1}{\rho+1}$}\tag{8.6.5}

\begin{cases} <\boldsymbol{\vec{S}}_i>=\boldsymbol{\hat{z}}\frac{E_{m}^{2}}{2\eta _1}\\ <\boldsymbol{\vec{S}}_r>=-\boldsymbol{\hat{z}}\frac{E_{m}^{2}}{2\eta _1}R^2\\ <\boldsymbol{\vec{S}}_t>=\boldsymbol{\hat{z}}\frac{E_{m}^{2}}{2\eta _2}T^2\\ \end{cases}\tag{8.6.6}

布儒斯特角（全折射）：

\begin{cases} \sin \theta _{1\bot}=\sqrt{\frac{1-\mu _1\varepsilon _2/\mu _2\varepsilon _1}{1-\left( \mu _1/\mu _2 \right) ^2}}\\ \sin \theta _{1/\!/}=\sqrt{\frac{1-\mu _2\varepsilon _1/\mu _1\varepsilon _2}{1-\left( \varepsilon _1/\varepsilon _2 \right) ^2}}\xlongequal{\mu _1=\mu _2=\mu _0}\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon _1/\varepsilon _2}}\\ \end{cases}\tag{8.6.7}

对于垂直极化波，如果μ₁=μ₂，则不可能全折射。

而对于平行极化波,如果μ₁=μ₂，则有布儒斯特角，以此入射则可发生全折射，可以用于起偏器，将圆极化光转化为偏振光：

\colorbox{cyan}{$\sin \theta _{B/\!/}=\sqrt{\frac{1}{1+\varepsilon _1/\varepsilon _2}}=\sqrt{\frac{\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}}$}\tag{8.6.8}

全反射临界角（大于临界角θ₀则可以全反射），可用于将线极化波转化为圆极化波，以及介质波导：

\colorbox{cyan}{$\sin \theta _0=\sqrt{\frac{\mu _2\varepsilon _2}{\mu _1\varepsilon _1}}$}=\frac{v_1}{v_2}\tag{8.6.9}

临界全反射 $|R|=1$ $R=\frac{A-jB}{A+jB}\text{e}^{-j2 \psi}$ 会引入一个相位滞后：

\begin{cases} \tan \psi _{\bot}=\frac{\eta _1}{\eta _2}\frac{1}{\cos \theta _1}\sqrt{\frac{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}\sin ^2\theta _1-1}\\ \tan \psi _{/\!/}=\frac{\eta _2}{\eta _1}\frac{1}{\cos \theta _1}\sqrt{\frac{\varepsilon _1}{\varepsilon _2}\sin ^2\theta _1-1}\\ \end{cases}\tag{8.6.10}

第九章——导行波

1、TE/TM波

$z$ 轴， $\gamma$ $k^2=\omega^2\mu\varepsilon$ ，则：

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{E}}\;\!=\boldsymbol{\vec{E}}_0\left( x,y \right) \text{e}^{-\gamma z}\;\!=\left( \boldsymbol{\hat{x}}E_{0x}+\boldsymbol{\hat{y}}E_{0y}+\boldsymbol{\hat{z}}E_{0z} \right) \text{e}^{-\gamma z}\\ \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\vec{H}}_0\left( x,y \right) \text{e}^{-\gamma z}=\left( \boldsymbol{\hat{x}}H_{0x}+\boldsymbol{\hat{y}}H_{0y}+\boldsymbol{\hat{z}}H_{0z} \right) \text{e}^{-\gamma z}\\ \nabla \times \boldsymbol{\vec{H}}=j\omega \varepsilon \boldsymbol{\vec{E}}\\ \nabla \times \boldsymbol{\vec{E}}\,=-j\omega \mu \boldsymbol{\vec{H}}\\ \end{cases}\tag{9.1.1}

对于各分量：

\begin{cases} E_{0x}=-\frac{1}{\gamma ^2+k^2}\left( \gamma \frac{\partial E_{0z}}{\partial x}+j\omega \mu \frac{\partial H_{0z}}{\partial y} \right)\\ E_{0y}=\phantom{-}\frac{1}{\gamma ^2+k^2}\left( -\gamma \frac{\partial E_{0z}}{\partial y}+j\omega \mu \frac{\partial H_{0z}}{\partial x} \right)\\ H_{0x}=\phantom{-}\frac{1}{\gamma ^2+k^2}\left( j\omega \varepsilon \frac{\partial E_{0z}}{\partial y}-\gamma \frac{\partial H_{0z}}{\partial x} \right)\\ H_{0y}=-\frac{1}{\gamma ^2+k^2}\left( j\omega \varepsilon \frac{\partial E_{0z}}{\partial x}+\gamma \frac{\partial H_{0z}}{\partial y} \right)\\ \end{cases}\tag{9.1.2}

传播常数 $\colorbox{cyan}{$\gamma=j\beta_{mn}$}$

$f_{mn}$ $\lambda_{mn}$ $\beta_{mn}$ $v_{p}$ $\lambda_{g}$ ：

\begin{cases}<br> \colorbox{cyan}{$\displaystyle f_{mn}$}=\frac{1}{2\sqrt{\mu \varepsilon}}\sqrt{\left( m/a \right) ^2+\left( n/b \right) ^2}=\colorbox{cyan}{$\frac{v}{2}\sqrt{\left( m/a \right) ^2+\left( n/b \right) ^2}$}\\<br> \displaystyle \colorbox{cyan}{$\lambda _{mn}$}=\frac{v}{f_{mn}}=\colorbox{cyan}{$\frac{2}{\sqrt{\left( m/a \right) ^2+\left( n/b \right) ^2}}$}\\<br> \displaystyle \colorbox{cyan}{$\beta _{mn}=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1-\left( f_{mn}/f \right) ^2}$}=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1-\left( \lambda /\lambda _{mn} \right) ^2}\\<br> \displaystyle \colorbox{cyan}{$v_p$}=\frac{\omega}{\beta _{mn}}=\colorbox{cyan}{$\frac{v}{\sqrt{1-\left( f_{mn}/f \right) ^2}}$}=\frac{v}{\sqrt{1-\left( \lambda /\lambda _{mn} \right) ^2}}\\<br> \displaystyle \colorbox{cyan}{$\lambda _g$}=\frac{v_p}{f}=\colorbox{cyan}{$\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left( f_{mn}/f \right) ^2}}$}=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left( \lambda /\lambda _{mn} \right) ^2}}\\<br>\end{cases}\tag{9.1.3}

波阻抗：

\begin{cases} \colorbox{cyan}{$\text{Z}_{\text{TE}}$}=\frac{E_x}{H_y}=-\frac{E_y}{H_x}=\frac{\omega \mu}{\beta _{mn}}=\colorbox{cyan}{$\frac{\eta}{\sqrt{1-\left( f_{mn}/f \right) ^2}}$}\\ \colorbox{cyan}{$\text{Z}_{\text{TM}}$}=\frac{E_x}{H_y}=-\frac{E_y}{H_x}=\frac{\beta _{mn}}{\omega \varepsilon}=\colorbox{cyan}{$\eta \sqrt{1-\left( f_{mn}/f \right) ^2}$}\\ \end{cases}\tag{9.1.4}

其中TE₁₀模是比较特殊的，往往来说它的波长最大。

\colorbox{cyan}{$\left\{ \begin{array}{c} \begin{array}{c} \begin{array}{l} f_{10}=\frac{v}{2a}\\ \lambda _{10}=2a\\ \beta _{10}=\frac{2\pi}{\lambda}\sqrt{1-\left( \lambda /2a \right) ^2}\\ v_p=\frac{v}{\sqrt{1-\left( \lambda /2a \right) ^2}}\\ \lambda _g=\frac{\lambda}{\sqrt{1-\left( \lambda /2a \right) ^2}}\\ \end{array}\\ \end{array}\\ \end{array} \right.$}\tag{9.1.5}

2、波导中的能量损耗

传输功率：

\begin{cases} \displaystyle P_{av}=\int_S{<\boldsymbol{\vec{S}}>\cdot \text{d}\boldsymbol{\vec{S}}}=\int_0^a{\text{d}x}\int_0^b{\text{Re}\left[ \frac{1}{2}\boldsymbol{\vec{E}}\times \boldsymbol{\vec{H}} \right] \text{d}y}\\ \displaystyle \phantom{P_{av}}=\frac{1}{2}\text{Re}\left[ \int_0^a{\text{d}x}\int_0^b{\left( E_xH_{y}^{*}-E_yH_{x}^{*} \right) \text{d}y} \right]\\ \end{cases}\tag{9.2.1}

TE₁₀模的传输功率（其中E_m是x=a/2处的幅度，亦即最大幅值）：

\begin{cases} \displaystyle \colorbox{cyan}{$P_{av}$}=\frac{1}{2}\text{Re}\int_0^a{\text{d}x}\int_0^b{\left( -E_yH_{x}^{*} \right) \text{d}y}\\ \displaystyle \phantom{P_{av}}=\frac{\omega \mu a^3b}{4\pi ^2}\beta _{10}H_{0}^{2}=\frac{\omega \mu a^3b}{4\pi ^2}\beta _{10}H_{0}^{2}=\colorbox{cyan}{$\frac{ab}{4Z_{\text{TE}_{10}}}E_{m}^{2}$}\\ \end{cases}\tag{9.2.2}

理想波导的传播常数只有虚部，但实际波导会有一个衰减常数实部，即 $\gamma=\alpha+j\beta$ ，此时衰减常数即为：

P_{av}\left( z \right) =P_{av}\left( 0 \right) \text{e}^{-2\alpha z}\Rightarrow \alpha =-\frac{1}{2P_{av}}\frac{\text{d}P_{av}}{\text{d}z}\tag{9.2.3}

3、TEM波

(9.1.2) $\gamma^2+k^2=0\Rightarrow \gamma=jk=j\omega\sqrt{\mu\varepsilon}$

\begin{cases} H_{0y}=\phantom{-}\sqrt{\varepsilon /\mu}E_{0x}=\phantom{-}\frac{E_{0x}}{\eta}\\ H_{0x}=-\sqrt{\varepsilon /\mu}E_{0y}=-\frac{E_{0y}}{\eta}\\ \end{cases}\tag{9.3.1}

优点：

没有截止频率的限制，原则上可以传输任意频率的电磁波
TEM波为非色散波，不会产生宽带信号的变形

缺点：

开放的双线系统其辐射损耗大
同轴线系统在频率较高时存在着较大的介质损耗
功率容量比较小

第十章——电磁辐射

1、赫芝偶极子

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{A}}=\frac{\mu _0}{4\pi}I\text{d}\boldsymbol{\vec{l}}\frac{\text{e}^{-jkR}}{R}\\ \boldsymbol{\vec{H}}=-\boldsymbol{\hat{\varphi}}\frac{I\text{d}l}{4\pi}k^2\sin \theta \left[ \frac{1}{jkr}+\frac{1}{\left( jkr \right) ^2} \right] \text{e}^{-jkR}\\ \boldsymbol{\vec{E}}=-\frac{I\text{d}l}{4\pi \varepsilon}\frac{k^2}{c}\left\{ \boldsymbol{\hat{r}}2\cos \theta \left[ \frac{1}{\left( jkr \right) ^2}+\frac{1}{\left( jkr \right) ^3} \right] +\boldsymbol{\hat{\theta}}\sin \theta \left[ \frac{1}{jkr}+\frac{1}{\left( jkr \right) ^2}+\frac{1}{\left( jkr \right) ^3} \right] \right\} \text{e}^{-jkR}\\ \end{cases}\tag{10.1.1}

$r\gg 1,kr\ll 1$ ：

\colorbox{cyan}{$\begin{cases} \displaystyle \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\hat{\varphi}}\frac{I\text{d}l}{4\pi r^2}\sin \theta\\ \displaystyle \boldsymbol{\vec{E}}=-\frac{j\,I\text{d}l}{4\pi \varepsilon \omega r^2}\left\{ \boldsymbol{\hat{r}}2\cos \theta +\boldsymbol{\hat{\theta}}\sin \theta \right\}\\ \end{cases}$}\tag{10.1.2}

因为近区电磁有π/2的相位差，故坡印廷矢量为0，没有向外辐射能量。

$kr\gg 1$ ：

\colorbox{cyan}{$\begin{cases} \displaystyle \boldsymbol{\vec{H}}=\boldsymbol{\hat{\varphi}}\frac{j\,I\text{d}l}{2\lambda r}\sin \theta \text{e}^{-jkR}\\ \displaystyle \boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{j\,\eta I\text{d}l}{2\lambda r}\sin \theta \text{e}^{-jkR}\\ \end{cases}$}\tag{10.1.3}

平均坡印廷矢量：

<\boldsymbol{\vec{S}}>=\boldsymbol{\hat{r}}\frac{\eta}{2}\left( \frac{I\text{d}l}{2\lambda} \right) ^2\left( \frac{\sin \theta}{r} \right) ^2

平均辐射功率：

\colorbox{cyan}{$P_a=\frac{1}{3}\eta \left( \frac{I\text{d}l}{\lambda} \right) ^2$}

辐射电阻：

\colorbox{cyan}{$R_a=\frac{2\pi}{3}\eta \left( \frac{\text{d}l}{\lambda} \right) ^2=80\pi ^2\left( \frac{\text{d}l}{\lambda} \right) ^2$}

$\sin\theta$ 的存在，记一个归一化函数如下：

F\left( \theta ,\varphi \right) =\frac{\left| E\left( \theta ,\varphi \right) \right|}{E_{\max}}\tag{10.1.4}

其中对于赫芝偶极子，方向性函数为：

F\left(\theta\right)=\sin\theta

2、磁偶极子天线辐射

远区解：

\begin{cases} \boldsymbol{\vec{E}}=\boldsymbol{\hat{\varphi}}\frac{\eta}{4\pi r}mk^2\sin \theta \text{e}^{-jkr}\\ \boldsymbol{\vec{H}}=-\boldsymbol{\hat{\theta}}\frac{1}{4\pi r}mk^2\sin \theta \text{e}^{-jkr}\\ \end{cases}\tag{10.2.1}

\colorbox{cyan}{$P_a=\frac{160\pi ^2m^2}{\lambda ^4}$}\tag{10.2.2}

\colorbox{cyan}{$R_a=20\left( \frac{\pi d}{\lambda} \right) ^2$}\tag{10.2.3}

3、天线阵

二元天线阵 $I_2=mI_1\mathrm e^{-j\zeta}$

$\psi=kd\cos\alpha-\zeta$ ，其中d为两天线距离，α为天线与天线阵轴线夹角，则合成电场的复振幅为：

E=E_1+E_2=E_1\left(1+m\mathrm e^{j\psi}\right)\tag{10.3.1}

对于n元天线阵，不妨设它们电流相等：

\begin{array}{l} \displaystyle\colorbox{cyan}{$ E$}=E_1\left[ 1+\text{e}^{j\psi}+\text{e}^{j2\psi}+\cdots +\text{e}^{j\left( N-1 \right) \psi} \right]\\ \displaystyle \phantom{E}=\colorbox{cyan}{$E_1\text{e}^{j\frac{N-1}{2}\psi}\frac{\sin \frac{N\psi}{2}}{\sin \frac{\psi}{2}}$}\\ \end{array}\tag{10.3.2}

$\frac{\sin \frac{N\psi}{2}}{\sin \frac{\psi}{2}}$ 阵因子 $\frac1N\frac{\sin \frac{N\psi}{2}}{\sin \frac{\psi}{2}}$ 被称为归一化的阵因子。

$\colorbox{cyan}{$\cos\alpha=\frac{\zeta}{kd}$}$ 时，阵因子最大。

对于同相电流，垂直情形最大。

最终章——公式推导合集

由于时间原因，本来这一节是重头戏的，结果没做了。。。

推导1如下：

如下(H) +(2.1.1)+(2.1.2)>求散度 $\nabla \times \nabla \times \boldsymbol{\vec{A}}=\mu \boldsymbol{\vec{J}}-\mu \varepsilon \frac{\partial}{\partial t}\left[ \nabla U+\frac{\partial \boldsymbol{\vec{A}}}{\partial t} \right](?.1)$

(?.1)(NXX) $\nabla ^2\boldsymbol{\vec{A}}-\mu \varepsilon \frac{\partial ^2\boldsymbol{\vec{A}}}{\partial t^2}=-\mu \boldsymbol{\vec{J}}+\nabla \left( \nabla \cdot \boldsymbol{\vec{A}}+\mu \varepsilon \frac{\partial U}{\partial t} \right)(?.2)$

为使得(?.2)(2.1.3) $\blacksquare$

<返回推导1对应的原地址>

推导2如下：

$\nabla\times$ (WE)+(WH)+(NXX)(WD) $\frac{1}{\varepsilon}\nabla \left( \rho \right) -\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}=-\mu j\omega \left( \sigma \boldsymbol{\vec{E}}+\varepsilon j\omega \boldsymbol{\vec{E}} \right) (?.1)$

$\rho=0$ (?.1) $\nabla ^2\boldsymbol{\vec{E}}=\mu j\omega \sigma \boldsymbol{\vec{E}}+\mu \varepsilon \left( j\omega \right) ^2\boldsymbol{\vec{E}}$

(PPE) $\blacksquare$

<返回推导2对应的原地址>

推导3如下：

(4.4.4) $\frac{1}{\varepsilon _1}\left. \left[ \frac{q_0}{\rho ^2+\left( z-h \right) ^2}+\frac{q_1}{\rho ^2+\left( z+h \right) ^2} \right] \right|_{z=0}=\frac{1}{\varepsilon _2}\left. \left[ \frac{q_2}{\rho ^2+\left( z-h \right) ^2} \right] \right|_{z=0}(?.1)$ $\frac{\partial}{\partial z}\left. \left[ \frac{q_0}{\rho ^2+\left( z-h \right) ^2}+\frac{q_1}{\rho ^2+\left( z+h \right) ^2} \right] \right|_{z=0}=\frac{\partial}{\partial z}\left. \left[ \frac{q_2}{\rho ^2+\left( z-h \right) ^2} \right] \right|_{z=0}(?.2)$

(?.1) $\frac{1}{\varepsilon _1}\left( q_0+q_1 \right) =\frac{1}{\varepsilon _2}q_2(?.3)$

(?.2) $q_0-q_1=q_2(?.4)$

(?.3)(?.4) $\begin{cases} q_1=\frac{\varepsilon _1-\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}q_0\\ q_2=\frac{2\varepsilon _2}{\varepsilon _1+\varepsilon _2}q_0\\ \end{cases}$

(7.1.1) $\blacksquare$

<返回推导3对应的原地址>

1 [1]田晓岑,张萍.球坐标和柱坐标下▽f、▽·(fg)、▽×(fg)、▽~2f的运算公式[J].大学物理,2001(02):8-11. ↩ ↩